ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

Для вычисления при больших n вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли находится между m1 и m2 , используется интегральная теорема Муавра–Лапласа.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа.Если вероятность успеха в каждом испытании р, pÎ(0;1) постоянна, то при n ® ¥ для любых a, b

.

На основании интегральной теоремы Муавра–Лапласа для вычисления вероятности события при больших n и npq >9 используют приближенную формулу

где .

Значения можно найти, воспользовавшись таблицами функции Лапласа , покажем это:

= ,

т.е. при больших n,

Ф(b) – Ф(а). (1)

Значения функции Лапласа приведены в таблицах для х > 0. Для того, чтобы вычислить значения функции для отрицательных х, надо воспользоваться ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ следующей теоремой.

Теорема.Ф(x) + Ф(-x) = 1.

Доказательство: j(x) – чётная, так как j(x) = j(-x). Тогда (рис.1).


-х х

Рис. 1

Следовательно, по интегральной теореме Муавра–Лапласа

.

В некоторых источниках Ф(х) определяется как .

В этом случае Ф(–x) = –Ф(x).

Событие m1 £ m £ m2 эквивалентно событию .

Поэтому, учитывая (1) для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено в пределах от m1 до m2 , можно использовать формулу

, (2)

где , .

Формула (2) хорошо работает, если n < 50. При больших значениях n лучше взять

и .

Обозначим через b вероятность того, что относительная частота наступления успеха в n испытаниях Бернулли отклонится от вероятности успеха p не ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ более чем на e > 0, т.е. . Покажем, что при достаточно больших n с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа можно определить вероятность b.

Следовательно, получим

(3)

Формула содержит четыре параметра: n, p, e, b. Если известны любые 3, то можно определить четвертый параметр.

Если известны b, e, то n можно найти по формуле

(4)

где – это квадрат числа хb, такого, что Ф(х) = .

Теорема Бернулли. Пусть m – число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, вероятность успеха в каждом испытании равна p, тогда

"e>0, .


documentaiurstt.html
documentaiusaeb.html
documentaiushoj.html
documentaiusoyr.html
documentaiuswiz.html
Документ ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ